L'hexagone régulier est le moyen de pavage le plus économique: pour une même surface, il offre le périmètre le plus petit.
Dès l'Antiquité, on a remarqué la section hexagonale des alvéoles :
Aristote ( Histoire des animaux) en -400 av. JC, Pline l'Ancien ( Histoire naturelle) et Pappus ( Collections) qui fut, semble-t-il, le premier à apporter une interprétation : cette forme des alvéoles est motivée par le souci de " paver " le plan et de faire des économies de cire pour une même surface recouverte.
Pendant longtemps, les scientifiques ne furent pas tous d'accord à propos de l'interprétation des hexagones et des losanges.

Ce que nous apprennent les abeilles

Les alvéoles des abeilles sont construites en cire par les " abeilles maçonnes ". Elles permettent de stocker le pollen et le miel, de loger les œufs et les larves (le couvain). Le gâteau de cire est constitué par des prismes juxtaposés, d'axe horizontal.
Le couvercle est garni de cire.

• La section droite de chacun des prismes est un hexagone régulier dont le côté mesure environ 3mm. La profondeur de l'un des prismes est de 11,5 mm environ.
  Première question : pourquoi des hexagones ?
  L'hexagone régulier est le moyen de pavage le plus économique : pour une même surface, il offre le périmètre le plus petit.
• Les prismes ne se raccordent pas par une face hexagonale : chaque cellule est adossée à trois autres cellules au moyen d'une surface concave formée de trois losanges.
  Ces losanges ont des angles de 109° et 71° environ.
  Seconde question : pourquoi ces losanges ?
  Pour un même volume, le raccordement par trois losanges minimise la surface de raccordement des prismes.

Par contre, il faut attendre le XVIIIe siècle pour que la forme des losanges de raccordement soit étudiée de manière précise.

Maraldi (neveu de Cassini) détermina expérimentalement l'angle de 109°28′ de ces losanges. König traita la question par le calcul et trouva 109°26'. Mais ce calcul était faux, comme le prouva Mac Laurin en 1743, confirmant le résultat de Maradi. D'autres études sont faites par Buffon, Réaumur, Huber, Lhuillier, Lalanne, ... avec des interprétations différentes.

Pendant longtemps, les scientifiques ne furent pas tous d'accord à propos de l'interprétation des hexagones et des losanges. Pourtant, Fontenelle (1657-1757) écrivait : " Les abeilles, par inspiration et de par la volonté divine, sont capables d'appliquer aveuglément les mathématiques les plus raffinées ".

En 1964, un mathématicien hongrois, Fejes Toth, a démontré que si le fond de raccordement des prismes n'est pas formé de trois losanges mais de deux petits hexagones et de deux losanges, la quantité de cire utilisée pour ce raccordement et pour un même volume, est inférieure de 0,35% à ce qu'elle est avec les losanges.
Source: APMEP